Как найти интеграл Мора? - коротко
Интеграл Мора вычисляется как сумма произведений внутренних усилий в конструкции на соответствующие единичные усилия, деленная на жесткость сечения. Для его нахождения необходимо построить эпюры внутренних усилий от заданной нагрузки и единичного воздействия.
Как найти интеграл Мора? - развернуто
Интеграл Мора — это метод, используемый в строительной механике и сопротивлении материалов для определения перемещений и углов поворота в упругих системах под действием внешних нагрузок. Он основан на принципе виртуальных работ и позволяет вычислять деформации конструкций, таких как балки, рамы и фермы. Для нахождения интеграла Мора необходимо выполнить несколько шагов.
Сначала требуется определить внутренние усилия в системе от действия реальной нагрузки. Это могут быть изгибающие моменты, поперечные или продольные силы, в зависимости от типа конструкции. Эти усилия рассчитываются с использованием методов строительной механики, таких как метод сечений или метод сил. Результаты представляются в виде функций, зависящих от координат сечения.
Далее необходимо приложить к системе единичную нагрузку в точке, где требуется найти перемещение или угол поворота. Единичная нагрузка — это сила или момент, равный единице, приложенный в направлении искомого перемещения. Внутренние усилия от этой единичной нагрузки также рассчитываются и представляются в виде функций.
После этого составляется выражение для интеграла Мора. Для балок и рам основным компонентом является интеграл от произведения изгибающих моментов от реальной и единичной нагрузок, деленного на жесткость сечения. Формула для перемещения имеет вид: [ \Delta = \int \frac{M(x) \cdot m(x)}{EI} \, dx ], где ( M(x) ) — изгибающий момент от реальной нагрузки, ( m(x) — изгибающий момент от единичной нагрузки, ( EI ) — жесткость сечения, а интегрирование выполняется по длине элемента.
Для более сложных систем, таких как фермы, интеграл Мора упрощается, так как в фермах основным внутренним усилием является продольная сила. В этом случае формула принимает вид: [ \Delta = \sum \frac{N_i \cdot n_i \cdot L_i}{EA} ], где ( N_i ) — продольная сила от реальной нагрузки, ( n_i ) — продольная сила от единичной нагрузки, ( L_i ) — длина стержня, ( EA ) — жесткость стержня, а суммирование выполняется по всем стержням фермы.
После вычисления интеграла или суммы получается искомое перемещение или угол поворота. Важно учитывать, что интеграл Мора применим только для линейно-упругих систем, где справедлив закон Гука. Для нелинейных систем или систем с пластическими деформациями используются другие методы. Точность результата зависит от правильности определения внутренних усилий и корректности выбора единичной нагрузки.