Как правильно: на острове Сахалине или Сахалин? - коротко
На острове Сахалин. Правильно говорить "на Сахалине", а не "на Сахалине".
Как правильно: на острове Сахалине или Сахалин? - развернуто
Правильное употребление зависит от грамматической конструкции предложения. Если речь идет о местонахождении, используется форма «на острове Сахалин». Название острова в этом случае выступает как неизменяемое существительное, подобно другим географическим объектам (например, «на острове Хоккайдо», «на острове Тасмания»).
Однако в разговорной речи иногда можно услышать вариант «на Сахалине», где название склоняется. Это допустимо, но только если слово «остров» не употребляется в предложении. Например: «Он живет на Сахалине» — корректно, а «Он живет на острове Сахалине» — ошибочно.
Таким образом, строгая литературная норма требует формы «на острове Сахалин». Если же название используется без слова «остров», допустимо склонение: «на Сахалине». Важно соблюдать единообразие: либо неизменяемый вариант в сочетании со словом «остров», либо склоняемый — без него.