Как возвести степень в степь? - коротко
Чтобы возвести степень в степень, перемножьте показатели степеней: ((a^b)^c = a^{b \cdot c}). Это правило работает для любых действительных чисел (a), (b) и (c) при (a > 0).
Как возвести степень в степь? - развернуто
Возведение степени в степень — это операция, которая применяется, когда показатель степени сам является степенью. Такое выражение записывается в виде ((a^m)^n), где (a) — основание, (m) — первая степень, а (n) — вторая степень. Для упрощения подобных выражений используется правило степеней, которое гласит: при возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остается неизменным. Математически это выражается формулой ((a^m)^n = a^{m \cdot n}).
Рассмотрим пример для наглядности. Пусть дано выражение ((2^3)^2). Сначала вычисляется внутренняя степень: (2^3 = 8). Затем результат возводится во вторую степень: (8^2 = 64). Однако, применяя правило степеней, можно упростить вычисления: ((2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64). Оба способа дают одинаковый результат, но второй метод более эффективен, особенно при работе с большими числами или переменными.
Важно учитывать, что данное правило работает только при одинаковом основании. Если выражение имеет вид (a^{m^n), то это уже другая операция — возведение в степень степенной башни, где вычисление происходит справа налево: (a^{(m^n)}). Например, (2^{3^2} = 2^9 = 512), а не ((2^3)^2 = 64).
При работе с алгебраическими выражениями это правило позволяет упрощать сложные формулы. Например, ((x^2 y^3)^4 = x^{2 \cdot 4} y^{3 \cdot 4} = x^8 y^{12}). Оно также применяется в дифференциальном и интегральном исчислении, теории вероятностей и других разделах математики.
Таким образом, возведение степени в степень сводится к перемножению показателей при сохранении основания. Это фундаментальное свойство степеней, которое значительно упрощает вычисления и анализ математических выражений.