Музей или музэй как? - коротко
Музей — правильное написание. Вариант "музей" также допустим, но менее распространён.
Музей или музэй как? - развернуто
Правильное написание слова в русском языке — «музей». Это слово заимствовано из французского языка (musée), которое, в свою очередь, восходит к латинскому museum, означающему «храм муз». В русской орфографии закрепился вариант с буквой «е» в первом слоге, поэтому «музей» является единственно верной формой.
Вариант «музэй» встречается в разговорной речи или в попытках передать произношение с акцентом, но он не соответствует нормам русского языка. Такое написание может использоваться в художественных текстах для стилизации, однако в официальных документах, научных работах и повседневном общении следует употреблять только «музей».
Исторически слово «музей» связано с античной традицией, где музеи были местами поклонения музам — богиням искусств и наук. В современном понимании музей — это учреждение, занимающееся сбором, хранением, изучением и экспонированием предметов культурного, исторического или научного значения.
Таким образом, если речь идет о стандартном написании и употреблении в русском языке, единственно правильным вариантом остается «музей». Использование «музэй» допустимо лишь в исключительных случаях, например, в творческих или стилизованных текстах, но не в нормативной письменной речи.