Как возвести дробь в степь? - коротко
Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель отдельно. Например, (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ.
Как возвести дробь в степь? - развернуто
Возведение дроби в степень выполняется по определённым правилам, которые позволяют упростить вычисления. Для начала рассмотрим случай, когда степень является целым числом. Если дана дробь ( \frac{a}{b} ), где ( a ) и ( b ) — числитель и знаменатель соответственно, то возведение в степень ( n ) осуществляется отдельно для числителя и знаменателя: ( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} ). Это правило справедливо как для положительных, так и для отрицательных степеней.
Если степень отрицательная, например ( -n ), дробь переворачивается, и степень становится положительной: ( \left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n ). Важно помнить, что знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.
В случае дробной степени, например ( \frac{m}{k} ), возведение дроби в такую степень эквивалентно извлечению корня и возведению в степень: ( \left( \frac{a}{b} \right)^{\frac{m}{k}} = \frac{a^{\frac{m}{k}}}{b^{\frac{m}{k}}} ). Здесь ( k ) — показатель корня, а ( m ) — степень, в которую возводится результат.
Для упрощения вычислений можно использовать свойства степеней. Например, если числитель или знаменатель уже являются степенями, допустимо применить правило ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} ). Это особенно полезно при работе с комплексными выражениями.
При возведении в степень смешанных чисел их предварительно переводят в неправильные дроби. Например, ( 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} ), после чего применяют стандартные правила.
Если степень — ноль, результат всегда равен единице при условии, что сама дробь не равна нулю: ( \left( \frac{a}{b} \right)^0 = 1 ). Это следует из основного свойства степеней.
Для проверки правильности вычислений можно использовать обратные операции. Например, если ( \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} ), то ( \left( \frac{4}{9} \right)^{\frac{1}{2}} ) должно вернуть исходную дробь ( \frac{2}{3} ).
Таким образом, возведение дроби в степень сводится к последовательному применению арифметических операций к числителю и знаменателю с учётом особенностей показателя степени.