Как возводить дроби в степь? - коротко
Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель отдельно. Например, (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ.
Как возводить дроби в степь? - развернуто
Возведение дробей в степень — это операция, которая применяется как к числителю, так и к знаменателю. Если дана дробь (\frac{a}{b}) и её нужно возвести в степень (n), то результатом будет (\frac{a^n}{b^n}). Например, (\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}). Это правило работает для любой степени, будь она целой, дробной, положительной или отрицательной.
Если степень отрицательная, то дробь сначала переворачивается, а затем возводится в модуль степени. Например, (\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}). Это следует из свойства отрицательных степеней: (x^{-n} = \frac{1}{x^n}).
Когда степень дробная, например (\frac{m}{k}), возведение дроби в такую степень эквивалентно извлечению корня (k)-й степени и последующему возведению в степень (m). Например, (\left(\frac{9}{16}\right)^{1/2} = \frac{9^{1/2}}{16^{1/2}} = \frac{3}{4}).
Если дробь смешанная, её предварительно переводят в неправильную. Например, (2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}), и тогда (\left(2\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}).
Порядок действий при возведении в степень сохраняется: сначала выполняются операции в скобках, затем возведение в степень, после — умножение и деление. Если в выражении есть несколько степеней, их вычисляют слева направо или по приоритету операций.
Для упрощения вычислений можно использовать свойства степеней: (\left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^m = \left(\frac{a}{b}\right)^{n+m}) и (\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^n}{\left(\frac{a}{b}\right)^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n-m}). Эти правила помогают сокращать сложные выражения.
При работе с десятичными дробями их удобно перевести в обыкновенные. Например, (0,5 = \frac{1}{2}), тогда (0,5^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}).
Если дробь возводится в нулевую степень, результат всегда равен 1, при условии, что сама дробь не равна нулю: (\left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1).
Таким образом, возведение дроби в степень сводится к последовательному применению правил степеней к числителю и знаменателю с учётом особенностей отрицательных, дробных и нулевых показателей.