На какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха уменьшится в 3 раза? - коротко
Плотность воздуха уменьшится в 3 раза на высоте примерно 8,5 км над уровнем моря, что соответствует стандартной атмосферной модели.
На какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха уменьшится в 3 раза? - развернуто
Плотность воздуха уменьшается с высотой из-за снижения атмосферного давления. Для определения высоты, на которой плотность воздуха уменьшится в три раза, необходимо рассмотреть зависимость плотности от высоты. Плотность воздуха ρ связана с атмосферным давлением P и температурой T уравнением состояния идеального газа: ρ = P / (R * T), где R — удельная газовая постоянная для воздуха.
Атмосферное давление убывает с высотой по барометрической формуле: P = P₀ exp(-M g h / (R T)), где P₀ — давление на уровне моря, M — молярная масса воздуха, g — ускорение свободного падения, h — высота, T — температура (предполагаемая постоянной для упрощения). Плотность воздуха также экспоненциально уменьшается с высотой: ρ = ρ₀ exp(-M g h / (R T)), где ρ₀ — плотность на уровне моря.
Чтобы плотность уменьшилась в три раза, необходимо выполнение условия: ρ = ρ₀ / 3. Подставляя это в формулу, получаем: ρ₀ / 3 = ρ₀ exp(-M g h / (R T)). Упрощая, находим: exp(-M g h / (R T)) = 1 / 3. Логарифмируя обе части, получаем: -M g h / (R T) = ln(1/3). Отсюда высота h = (R T / (M g)) * ln(3).
Для стандартных условий (T ≈ 288 K, M ≈ 0,029 кг/моль, R ≈ 8,314 Дж/(моль·К), g ≈ 9,81 м/с²) высота h ≈ (8,314 288 / (0,029 9,81)) * ln(3) ≈ 8430 метров. Таким образом, плотность воздуха уменьшится в три раза на высоте примерно 8,43 километра над уровнем моря.