На какой высоте h плотность газа вдвое меньше его плотности на уровне моря? - коротко
Высота ( h ), на которой плотность газа вдвое меньше, чем на уровне моря, определяется по формуле ( h = \frac{\ln{2}}{\beta} ), где ( \beta ) — коэффициент, зависящий от температуры и состава атмосферы.
На какой высоте h плотность газа вдвое меньше его плотности на уровне моря? - развернуто
Для определения высоты, на которой плотность газа становится вдвое меньше его плотности на уровне моря, необходимо учитывать зависимость плотности газа от высоты в атмосфере. Эта зависимость описывается барометрической формулой, которая отражает изменение давления и плотности газа с увеличением высоты. Плотность газа прямо пропорциональна его давлению при постоянной температуре, что позволяет использовать барометрическую формулу для решения задачи.
Барометрическая формула для плотности газа имеет вид: ρ(h) = ρ₀ exp(-Mgh / RT), где ρ(h) — плотность газа на высоте h, ρ₀ — плотность газа на уровне моря, M — молярная масса газа, g — ускорение свободного падения, R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура. Для того чтобы плотность газа стала вдвое меньше, должно выполняться условие ρ(h) = ρ₀ / 2. Подставляя это условие в формулу, получаем: ρ₀ / 2 = ρ₀ exp(-Mgh / RT).
Упрощая уравнение, находим: 1/2 = exp(-Mgh / RT). Логарифмируя обе части, получаем: ln(1/2) = -Mgh / RT. Поскольку ln(1/2) = -ln 2, уравнение принимает вид: -ln 2 = -Mgh / RT. Отсюда высота h выражается как: h = (RT * ln 2) / (Mg).
Для воздуха молярная масса M ≈ 0.029 кг/моль, ускорение свободного падения g ≈ 9.81 м/с², универсальная газовая постоянная R ≈ 8.314 Дж/(моль·К), а температура T зависит от условий атмосферы. При стандартной температуре 288 К (15°C) высота h ≈ (8.314 288 ln 2) / (0.029 * 9.81) ≈ 5500 метров. Таким образом, плотность воздуха становится вдвое меньше его плотности на уровне моря на высоте примерно 5500 метров.