При каком наименьшем значении угла в градусах мячик перелетит реку шириной 20 м? - коротко
Минимальный угол, при котором мячик перелетит реку шириной 20 м, составляет 45 градусов. Это условие выполняется при равных горизонтальной и вертикальной составляющих начальной скорости.
При каком наименьшем значении угла в градусах мячик перелетит реку шириной 20 м? - развернуто
Чтобы определить наименьший угол, при котором мячик перелетит реку шириной 20 метров, необходимо рассмотреть физические условия задачи. Движение мячика можно описать как баллистическое, то есть его траектория будет параболической. Для успешного перелета горизонтальная составляющая движения должна обеспечить преодоление расстояния 20 метров, а вертикальная — не допустить падения мячика в воду.
При броске под углом к горизонту начальная скорость ( v0 ) раскладывается на две компоненты: горизонтальную ( v{0x} = v0 \cos \alpha ) и вертикальную ( v{0y} = v_0 \sin \alpha ). Время полета до момента, когда мячик снова окажется на уровне броска, определяется вертикальным движением и равно ( t = \frac{2 v0 \sin \alpha}{g} ), где ( g ) — ускорение свободного падения. За это время мячик должен пролететь горизонтальное расстояние ( S = v{0x} \cdot t = v_0 \cos \alpha \cdot \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} ).
Упрощая выражение, получаем ( S = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} ). Для минимального угла ( \alpha ) необходимо, чтобы ( \sin 2\alpha ) был максимальным, так как ( S ) должно быть не менее 20 метров. Максимальное значение ( \sin 2\alpha = 1 ) достигается при ( 2\alpha = 90^\circ ), то есть ( \alpha = 45^\circ ). Однако это условие соответствует максимальной дальности полета, а не минимальному углу.
Для нахождения минимального угла нужно решить уравнение ( \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = 20 ). Если начальная скорость ( v_0 ) неизвестна, можно выразить угол через нее: ( \sin 2\alpha = \frac{20g}{v_0^2} ). Минимальный угол будет достигаться при минимальном ( \sin 2\alpha ), что возможно при максимальной скорости ( v_0 ). Однако если предположить, что скорость фиксирована, то минимальный угол соответствует минимальному ( \alpha ), при котором ( \sin 2\alpha ) еще обеспечивает перелет.
Если решать задачу без учета сопротивления воздуха и при фиксированной начальной скорости, то минимальный угол можно найти, полагая, что мячик перелетит реку при ( \alpha ), близком к нулю, но это нереалистично. В реальных условиях минимальный угол зависит от начальной скорости. Например, если ( v_0 = 20 \, \text{м/с} ), то ( \sin 2\alpha = \frac{20 \cdot 9.8}{400} \approx 0.49 ), откуда ( \alpha \approx 14.7^\circ ).
Таким образом, наименьший угол зависит от начальной скорости мячика. Если скорость стремится к бесконечности, угол стремится к нулю, но при конечных скоростях минимальный угол можно рассчитать по формуле ( \alpha = \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{20g}{v_0^2} \right) ). Если ( \frac{20g}{v_0^2} > 1 ), перелет невозможен ни при каком угле.